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非線形動力学
非線形動力学は、sin(θ) を含む振り子の方程式など、非線形方程式による状態の発展を調べる。方程式が非線形であるだけで、運動がカオスになるわけではない。
概要
外力も減衰もない理想的な振り子は θ̈=−(g/l)sin(θ) に従う。下向きの平衡点付近で sin(θ) を θ に置き換えると線形近似が得られるが、角度が大きいと近似の精度が落ちる。斉次線形方程式と異なり、非線形方程式の解を加えたり定数倍したりしても、一般には別の解にならない。
なぜ重要か
パラメータの変化はモデルの定性的な挙動を変え得る。スカラーの例 ẋ=−x+tanh(wx) では、w が1を超えると平衡点が二つ増え、x=0 の安定性も変わる。この解析は、一つの軌道の外挿にとどまらず、軌道の構造の変化を扱う。