Neblux 知識グラフ
安定性と不安定性
平衡点の近くにとどまることと、平衡点へ戻っていくことは異なる性質である。リャプノフ安定は前者を求め、漸近安定は後者も求める。
概要
局所リプシッツな自律常微分方程式 ẋ=f(x) の平衡点を0とする。一つの十分条件では、連続微分可能な関数 V が V(0)=0 と、近傍の非零状態で V(x)>0 を満たす。近傍全体で V̇=∇V·f≤0 ならリャプノフ安定であり、非零状態で微分がすべて厳密に負なら局所漸近安定となる。これらの仮定を欠いた単なる減少量は、この証明にはならない。
なぜ重要か
安定性の議論が成立する領域は重要である。ẋ=−x+x³ では、−1と1の間から始まる軌道は0へ近づき、−1と1の平衡点がその領域の境界となる。0の近傍の結論は、すべての初期状態を記述するものでも、方程式の変化に対する頑健性を保証するものでもない。