Neblux 知識圖譜
穩定性與不穩定性
保持在平衡點附近與逐漸回到平衡點，是不同的性質。李雅普諾夫穩定要求前者，漸近穩定則還要求後者。
概觀
對局部 Lipschitz 的自治常微分方程 ẋ=f(x)，若 0 是平衡點，一種充分判準是找出連續可微函數 V，使 V(0)=0，且附近非零狀態滿足 V(x)>0。若整個該鄰域內 V̇=∇V·f≤0，平衡點便具李雅普諾夫穩定性；若非零狀態的導數皆嚴格為負，則可得局部漸近穩定。僅有某個量遞減，而未滿足上述假設，並不構成此項證明。
為什麼重要
穩定性論證成立的區域很重要。對 ẋ=−x+x³，起點位於 −1 與 1 之間的軌道會趨近 0；−1 與 1 兩個平衡點形成該區域的邊界。在 0 附近的結論，不能描述所有初始狀態，也不能直接保證方程改變後仍具強健性。